Buktikan dengan induksi matematika

[tex]\forall n\in\mathbb{Z}^{+}\exists k\in\mathbb{Z}^{+}(n^{2}+n=2k)[/tex]

1. untuk [tex]n=1[/tex]
[tex]1^{2}+1=2=2*1[/tex]
terbukti ada [tex]k=1[/tex] sedemikian sehingga [tex]1^{2}+1=2k[/tex]

2. asumsikan benar untuk n=k, [tex]k\in\matbb{Z}^{+}[/tex], maka ada [tex]m\in\mathbb{Z}^{+}[/tex] sedemikian sehingga
[tex]k^{2}+k=2m[/tex]

3. akan dibuktikan benar untuk [tex]n=k+1[/tex]
[tex](k+1)^{2}+(k+1)=k^{2}+2k+1+k+1[/tex]
[tex]=k^{2}+k+2k+2[/tex]
[tex]=2m+2(k+1)[/tex]
[tex]=2(m+k+1)[/tex]
[tex]=2m'[/tex]
terbukti ada [tex]m'=m+k+1\in\mathbb{Z}^{+}[/tex] sedemikian sehingga [tex](k+1)^{2}+(k+1)=2m'[/tex]. maka terbukti benar untuk [tex]n=k+1[/tex]

maka untuk setiap n bilangan bulat positif, [tex]n^{2}+n[/tex] habis dibagi 2

n² + n habis dibagi 2
1) n = 1
1² + 1 = 2 habis dibagi 2

2) n = k
k² + k habis dibagi 2

n = k + 1
(k + 1)² + (k + 1)
= k² + 2k + 1 + k + 1
= k² + k + 2k + 2
= (k² + k) + 2(k + 1)
k² + k habis dibagi 2
2(k + 1) sudah jelas habis dibagi 2
(Terbukti)